Lebega mezuro

En mezurteorio, la lebega mezuro estas mezuro aŭ la norma maniero de asignado de longo, areo aŭ volumeno al subaroj de eŭklida spaco. Ĝi estas uzata en tuta reela analitiko, aparte por difino de lebega integralado. Aro al kiu povas esti asignita volumeno estas nomata kiel lebege mezurebla; la mezuro de la lebege mezurebla aro A estas skribata kiel λ(A). Lebegaj mezuroj de nefiniaj aroj estas eblaj.

La lebega mezuro estas nomita post Henri Leon Lebesgue. Li priskribis ĉi tiu mezuron en la jaro 1901, en la sekva jaro li priskribis de la lebegan integralon. Ambaŭ estis publikigita kiel parto de lia disertaĵo en 1902.

Lebega mezuro estas ofte signifata per dx, sed ĉi tio devus ne esti konfuzita kun la malsama komprenaĵo de volumena formo.

Propraĵoj

• Ĉiu segmento [a, b] de reelaj nombroj estas lebege mezurebla, kaj ĝia lebega mezuro estas la longo b–a. La malfermita intervalo (a, b) havas la saman mezuron b–a, ĉar la diferenco inter la du aroj konsistas nur el la finaj punktoj a kaj b kaj havas mezuron nulo.
• Ĉiu kartezia produto de intervaloj [a, b] kaj [c, d] estas lebege mezurebla, kaj ĝia lebega mezuro estas (b–a)(d–c), la areo de la respektiva ortangulo.

La lebega mezuro sur Rⁿ havas jenajn propraĵojn:

• Se A estas kartezia produto de intervaloj I₁×I₂×...×I_n do A estas lebege mezurebla, kaj ĝia lebega mezuro estas λ(A)=|I₁|·|I₂|·...·|I_n|. Ĉi tie |I| estas la longo de la intervalo I.
• Se A estas disa unio de kalkuleble multaj disaj lebege mezureblaj aroj, tiam A estas lebege mezurebla kaj λ(A) estas egala al la sumo (aŭ nefinia serio) de la mezuroj de la koncernataj apartaj mezureblaj aroj.
• Se A estas lebege mezurebla, do lebege mezurebla estas ĝia komplemento.
• λ(A) ≥ 0 por ĉiu lebega mezurebla aro A.
• Se A kaj B estas lebege mezureblaj kaj A estas subaro de B, do λ(A) ≤ λ(B). (sekvaĵo de 3 pli supraj propraĵoj)
• Kalkuleblaj kunaĵoj kaj komunaĵoj de lebege mezureblaj aroj estas lebege mezurebla. (ne sekvaĵo de propraĵoj 2 kaj 3, ĉar familio de aroj kiuj estas fermita sub komplementoj kaj disaj kalkuleblaj kunaĵoj ne nepre estas fermita sub kalkuleblaj kunaĵoj, ekzemple familio {{}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}, {3, 4}, {1, 3}, {2, 4}})
• Se A estas malfermita aŭ fermita subaro de Rⁿ (aŭ eĉ borela aro, vidu en metrika spaco), tiam A estas lebege mezurebla.
• Se A estas lebege mezurebla aro, tiam ĝi estas "proksimume malfermita" kaj "proksimume fermita" en la senco de lebega mezuro (vidu en la reguleca teoremo por lebega mezuro).
• Lebega mezuro estas ambaŭ loke finia (kio estas ke ĉiu punkto de la spaco havas najbaraĵon de finia mezuro) kaj ena regula, kaj do ĝi estas mezuro de Radon.
• Lebega mezuro estas severe pozitiva sur ne-malplenaj malfermitaj aroj, kaj do ĝia subteno estas la tuto de Rⁿ.
• Se A estas lebege mezurebla aro kun λ(A) = 0 (nula aro), tiam ĉiu subaro de A estas ankaŭ nula aro. Tiel, ĉiu subaro de A estas mezurebla.
• Lebega mezuro estas mova invarianto: se A estas lebege mezurebla kaj x estas ero de Rⁿ, tiam la movo de A per x, difinita kiel A+x = {a+x: a∈A}, estas ankaŭ lebege mezurebla kaj havas la saman mezuron kiel A.
• Se A estas lebege mezurebla kaj estas reela nombro δ>0, tiam la pligrandiĝo de A per δ difinita kiel δA = {δa: a∈A} estas ankaŭ lebege mezurebla kaj havas mezuron δⁿλ(A).
• Pli ĝenerale de la du antaŭaj propraĵoj, se T estas lineara transformo kaj A estas mezurebla subaro de Rⁿ, tiam T(A) estas ankaŭ lebege mezurebla kaj havas mezuron |det(T)|λ(A).

Ĉiuj pli supraj propraĵoj povas esti koncize resumitaj kiel sekvas:

La lebege mezureblaj aroj formas σ-algebron enhavantan ĉiujn produtojn de intervaloj, kaj λ estas la unika plena move invarianta mezuro sur ĉi tiu σ-algebro kun λ([0, 1]×[0, 1]×...×[0, 1])=1.

La lebega mezuro estas σ-finia.

Nulaj aroj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Nula aro.

Subaro de Rⁿ estas nula aro se, por ĉiu ε>0, ĝi povas esti kovrita kun kalkuleble multaj produtoj de n intervaloj kies tuteca volumeno estas maksimume ε. Ĉiuj kalkuleblaj aroj estas nulaj aroj.

Aro de Kantor estas ekzemplo de nekalkulebla aro kiu havas lebegan mezuran nulo.

Se subaro de Rⁿ havas dimension de Hausdorff malpli grandan ol n do ĝi estas nula aro kun respekto al n-dimensia lebega mezuro. Ĉi tie dimensio de Hausdorff estas relativa al la eŭklida metriko sur Rⁿ (aŭ ĉiu metriko de Lipschitz ekvivalenta al ĝi). Aliflanke aro povas havi topologian dimension malpli grandan ol n kaj havi pozitivan n-dimensian lebegan mezuron. Ekzemplo de ĉi tiu estas la aro de Smith-Volterra-Cantor kiu havas topologian dimension 0 kaj havas pozitivan 1-dimensian lebegan mezuron.

Por ke montri ke donita aro A estas lebege mezurebla, oni kutime provas al trovi pli oportunan aron B kiu malsamas de A nur per nula aro (en la senco ke la simetria diferenco $(A-B)\cup (B-A)$ estas nula aro) kaj tiam montri ke B povas esti generita per kalkuleblaj kunaĵoj kaj komunaĵoj de malfermitaj aŭ fermitaj aroj.

Lebege ne mezureblaj aroj

Alprenante la aksiomon de elekto, ne ĉiuj subaroj de Rⁿ estas lebege mezureblaj. Plu, se A estas iu subaro de Rⁿ de pozitiva mezuro, do A havas subarojn kiuj estas ne lebege mezureblaj.

Aro de Vitali estas ekzemplo de aro kiu estas ne mezurebla kun respekto al la lebega mezuro.

La stranga konduto de ne-mezureblaj aroj donas eblecon al tia frazoj kiel la paradokso de Banaĥo-Tarski, konsekvenco de la aksiomo de elekto.

En 1970, Robert M. Solovay montris ke la ekzisto de aroj kiu estas ne lebege mezureblaj estas ne pruvebla en la kadro de aroteorio de Zermelo-Fraenkel foreste de la aksiomo de elekto.

Konstruado de la lebega mezuro

La moderna konstruado de la Lebega mezuro estas apliko de vastigaĵa teoremo de Carathéodory. Ĝi procedas kiel sekvas.

Estu n pozitiva entjero. Skatolo en Rⁿ estas aro de formo

$B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]$

kie b_i≥a_i. La volumeno vol(B) de ĉi tiu skatolo estas difinita kiel

$\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$

Por ĉiu subaro A de Rⁿ, oni povas difini ĝian eksteran mezuron λ^*(A) kiel:

$\lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigl \{}\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ estas kalkulebla kolekto de skatoloj kiu kovras }}A{\Bigr \}}$

Oni tiam difinu la aro A al esti lebege mezurebla se por ĉiu S en Rⁿ,

$\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(A\cap S)+\lambda ^{*}(S-A)$

Ĉi tiuj lebege mezureblaj aroj formas σ-algebron, kaj la lebega mezuro estas difinita kiel λ(A)=λ^*(A) por ĉiu lebege mezurebla aro A.

Rilato al alia mezuroj

La borela mezuro kongruas kun la lebega mezuro sur tiuj aroj por kiu ĝi estas difinita; tamen, estas multaj pli multaj lebege mezureblaj aroj ol estas borele mezureblaj aroj. La borela mezuro estas mova invarianto, sed ne plena.

La mezuro de Haar povas esti difinita sur ĉiu loke kompakta grupo kaj estas ĝeneraligo de la lebega mezuro ( Rⁿ kun adicio estas loke kompakta grupo).

La mezuro de Hausdorff estas ĝeneraligo de la lebega mezuro por mezurado de subaroj de Rⁿ de pli subaj dimensioj ol n, simile al subduktoj, ekzemple, surfacoj aŭ kurboj en R³ kaj fraktalaj aroj. La mezuro de Hausdorff estas ne la sama komprenaĵo kiel dimensio de Hausdorff.

Nefinidimensia kazo

Ne ekzistas nefinidimensia lebega mezuro.

Se X estas nefinidimensia normigita spaco, do ne ekzistas ne triviala mezuro μ, difinita sur σ-algebro de subaroj de X (inkluzivanta ĉiujn malfermitajn subarojn de X) tia ke ĝi estas samtempe

• move invarianta, kio estas ke se A estas mezurebla kaj x estas ero de X, do la movo de A per x, difinita kiel A+x = {a+x: a∈A}, estas ankaŭ mezurebla kaj havas la saman mezuron kiel A;
• loke finia, kio estas ke ĉiu punkto de la spaco havas najbaraĵon de finia mezuro;
• severe pozitiva, kio estas ke ĉiu ne malplena malfermita aro havas pozitivan mezuron.

La neekzisto de la mezuro sur nefinidimensiaj spacoj estas pro la profundaj malsamecoj de geometrio de finidimensiaj spacoj kaj nefinidimensiaj spacoj. Sur nefinidimensiaj spacoj tamen povas ekzisti la aliaj naturaj mezuroj, inter ili mezuro de Gauss.

Vidu ankaŭ

• Lebega denseca teoremo

Eksteraj ligiloj

• Solovay, Robert M. (1970). A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable - Modelo de aro-teorio en kiu ĉiu aro de reelaj nombroj estas lebege mezurebla. Annals of Mathematics. Second Series - Analoj de Matematiko. Dua Serio 92 (1) 1–56. COI:10.2307/1970696.
• [1]
• Brian R. Sauer, James A. Yorke. Prevalence: a translation-invariant "almost every" on infinite-dimensional spaces. „Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)”. 2, ss. 217–238 (1992).. COI:10.1090/S0273-0979-1992-00328-2.